結論から申し上げます。
プラグインを追加する必要は一切ありません。
そして、そのスパム大量着信とお客さまへのメール不達は裏で完全に繋がっています。

あなたの会社のドメインがスパムボットに目を付けられ、送信信用度（レピュテーション）が落ちている状態です。
解決策は以下の2ステップです。

1．Contact Form 7の標準AI（reCAPTCHA v3）を有効化
Contact Form 7には最初からGoogleの最新AI判定機能（reCAPTCHA v3）が標準内蔵されています。
Googleでキーを発行してコピペするだけで、ユーザーに画像選択をさせずに営業ボットだけを5分で100%遮断できます。

2．メールインフラを「月々2,500円（Business Plus）」のGoogle Workspaceへ移行
WEBサーバー（エックスサーバー等）とメールインフラを切り離し、送信ドメイン認証（SPF/DKIM/DMARC）を強制設定します。
これにより、お客様のGmail受信トレイへ100%届く鉄壁の送信環境が完成します。

単なるサーバー設定ではなく、会社のメール資産を守る決断と行動力が今求められています。
自社での設定が不安な場合は、サキザキで初期のインフラ移行から丸投げ設定まで即日対応可能です。